勒让德(Legendre)符号的性质.

勒让德符号 $\Bigl(\frac{a}{p}\Bigr)$ 定义为

\[
\biggl(\frac{a}{p}\biggr)=\begin{cases}
1, & a\ \text{是}\ p\ \text{的平方剩余},\\
-1, & a\ \text{不是}\ p\ \text{的平方剩余}.\\
\end{cases}
\]

所谓平方剩余是指:

若方程 $x^2\equiv a\pmod p$ 有解, 则称数 $a$ 是素数 $p$ 的平方剩余. (这里 $p$ 是奇素数.)

(1)  若 $a\equiv b\pmod p$, 则 $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$.

(2) $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$.

作为(2) 的推广, 我们有

(3) 

\[\left(\frac{a^n}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)^n,\quad \left(\frac{a^2}{p}\right)=+1,\quad \left(\frac{ab^2}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right).\]

以上内容参见 [1] P. 99

References:

A. K. 苏什凯维奇 著  叶乃膺 译 《数论初等教程》,  哈尔滨工业大学出版社.